Imaginá un hotel enorme, con habitaciones numeradas desde la 1 y sin una última habitación: 1, 2, 3, 4, 5 y así hasta el infinito. Una noche llega un nuevo huésped y el recepcionista le informa que el hotel está completamente lleno. Parece imposible encontrarle un lugar, pero el administrador tiene una solución tan sencilla como sorprendente: hacer que todos se cambien de habitación.
El huésped de la habitación 1 pasa a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 y así sucesivamente. Nadie queda afuera y, al mismo tiempo, la habitación 1 queda disponible. Si llegan diez personas nuevas, el mecanismo es parecido: cada huésped se mueve diez habitaciones hacia adelante y los recién llegados ocupan los primeros diez cuartos. En un hotel común esto tendría un límite; en uno infinito, no.
La situación se vuelve todavía más llamativa cuando llegan infinitos huéspedes. En ese caso, el administrador puede enviar al huésped de la habitación 1 a la 2, al de la 2 a la 4, al de la 3 a la 6 y continuar de la misma manera. Así, todas las habitaciones pares quedan ocupadas, mientras que las impares —1, 3, 5, 7 y muchas más— quedan disponibles. Es decir, aunque las habitaciones pares son solo una parte de todas las habitaciones, hay tantas como números naturales.
¿Y si llegan infinitos grupos de infinitas personas? Hilbert también encontró una forma de resolverlo mediante los números primos. La idea es reservar distintas secuencias de habitaciones para cada grupo, utilizando números como 3, 5, 7 y 11 y sus respectivas potencias: 3, 9, 27..., o 5, 25, 125...
De esta manera, cada grupo puede tener su propia serie de habitaciones sin que se termine el espacio. La paradoja muestra algo que cuesta imaginar: cuando hablamos de infinito, “lleno” no siempre significa que no pueda entrar nadie más.